Dynamische Elektrische Felder

Elektrodynamik - Das zeitliche Verhalten einer räumlich ausgedehnten Raumladungsdichte im homogenen, linearen, isotropen Medium

 

Gegeben sei eine kugelförmig mit dem Radius R ausgedehnte Raumladungsdichte ρ0 zur Zeit t = 0 im unendlich ausgedehnten Material (dielektrische Konstante ε, magnetische peamiabilität μ und Leitfähigkeit κ). Diffusionseffekte werden vernachlässigt. Nun wird untersucht wie sich die  elektrodynamische Umgebung ab dem Zeitpunkt t = 0 verhält?

Es gilt nach dem Durchflutungsgesetz (4. Maxwellgleichung):

×H=J+tD

Entsprechend gilt bei Anwendung der Divergenz:

 

0=×H=J+tD

Nach dem Gausschen Gesetz für elektrische Felder (1. Maxwellsche Gleichung) gilt:

D=ρ

Aus der Linearität der Ableitung folgt mit obiger Formel:

0=J+tρ

Gleichzeitig gilt mit J=κεD

J=κεD=κεD=κερ

Nach einsetzen in obere Gleichung ergibt sich folgende lineare homogene gewöhnliche Differentialgleichung ersten Gerades:

0=κερ+tρ

Laplacetransformiert also:

κεΡs+sΡs-ρt=0=0

Ρs=ρt=0κε+s

Die Lösung der DGL ist nach der inversen Laplacetransformation:

ρ=ρt=0e- κεt=ρ0e- κεt

Das elektrische Feld entwickelt sich nach der ersten Maxwellgleichung zu:

Vρ0e- κεt dV=ADdA

Aufgrund der Kugelsymmetrie gilt in Kugelkoordinaten D=Drrer und folglich:

Vρ0e- κεt dV=43πr3ρ0e- κεt   für r<R43πR3ρ0e- κεt   für Rr=02π0πDrrr2sinφ dφ dϑ

43πr3ρ0e- κεt   für r<R43πR3ρ0e- κεt   für Rr=4πDrrr2

Nach Drr umgestellt ergibt sich für D:

D=13rρ0e- κεt er   für r<R13R3r2ρ0e- κεt er   für Rr

Nun gilt: E=1εD

 

Energetische Betrachtung:

Offensichtlich ist zum Zeitpunkt t=0 Energie ausschließlich im elektrischen Feld gespeichert. Dies ist dadurch begründet, dass ein radiales Feld kein quellenfreies Feld sein kann, ein eventuelles Magnetfeld jedoch geometrisch bedingt zwingend ein radiales Feld sein muss. Auf Grund der Quellenfreiheit des Magnetfeldes nach der zweiten Maxwellschen Gleichung B=0 muss gelten B=0