elektrostatische Felder

Es geht um die analytische Auswertung elektrostatischer Felder auf Basis symmetrischer Geometrie. Gegeben sei eine ungeladene Metallkugel die zur Hälfte in Eis(ε) eingefroren ist und zur Hälfte in Luft(ε0). An einer bestimmten Position p⃑(xh, yh,zh) befindet sich zu einem bestimmten Zeitpunkt t eine geladene, leitende Kugel mit dem Radius rh mit der Ladung Q. Nun soll das elektrische Feld beschrieben werden.

Wir beginnen damit die Kugeln durch äquivalente Punktladungen zu ersetzen. Das heißt durch Punktladungen, welche die selben Äquipotentialflächen aufweisen:

Es gilt auf Grund kongruenter rechtwinkliger Dreiecke:

cos⁡α=d-x2r2=r2d-x1⇔d-x2d-x1=r22

cos⁡β=x1r1=r1x2⇔x1x2=r12

d-r12x1d-x1=r22⇔d2-r12x1d-d∙x1+r12-r22=0

⇔x12-r12-r22+d2d x1+r12=0

⇒x1=r12-r22+d22d-r12-r22+d224d2-r12

⇒x2=r12x1

x1 und x2 sind also die Entfernungen der ersten beiden virtuellen Punktladungen zum Ursprung.

Als nächstes muss man wissen, wie das elektrische Feld einer einzelnen Punktladung aussieht um die Felder mittels Superposition überlagern zu können. Nach den Maxwellgleichungen gilt:

∭VϱdV=Q=∯D⃑dA⃑=∫02π∫0πD⃑R2sinϑ er⃑ dϑ dφ

Mit D⃑=ε Er er⃑ ; ε=const. gilt:

Q=∫02π∫0πD⃑r2sinϑ er⃑ dϑ dφ=∫02π∫0πε Er r2sinϑ er⃑ er⃑ dϑ dφ=∫02π∫0πε Er r2sinϑ dϑ dφ

Q=∫02π∫0πε Er r2sinϑ dϑ dφ=∫02π2ε Er r2dφ=4πε Er r2

⇔Er=Q4πεr2⇒E⃑r=Q4πεr2er⃑=Q4πε1x2+y2+z2xex⃑+yey⃑+zez⃑x2+y2+z2

E⃑x,y,z=Q4πε xex⃑+yey⃑+zez⃑x2+y2+z232

Betrachtet man das Elektrische Feld in der Luft konstruiert man sich eine weitere an der Oberfläche gespiegelte virtuelle Ladung:

Für die an der Oberfläche gespiegelte Ladung gilt:

Q'=ε0-εε0+εQ

Für die virtuelle Ladung durch Inversion an der Kugel gilt:

Q2=-r1x2Q

In Luft existieren also insgesamt folgende Ladungen

Q bei x=x2p⃑xh , y=x2p⃑yh , z=x2p⃑zh

Q'=ε0-εε0+εQ bei x=x2p⃑xh , y=x2p⃑yh , z=-x2p⃑zh

Q2=-r1x2Q bei x=x1p⃑xh , y=x1p⃑yh , z=x1p⃑zh

Q'2=-r1x2ε0-εε0+εQ bei x=x1p⃑xh , y=x1p⃑yh , z=x1p⃑zh

Q3=r1x2+r1x2ε0-εε0+εQ Q bei x=0 , y=0 , z=0

Da die Kugel im Eis nicht geerdet ist muss nach der Ladungserhaltung Q3 eingeführt werden. Für das elektrische Feld gilt nach dem Superpositionsprinzip:

E⃑ges=∑iE⃑i

E⃑1=Q4πε0x-x2p⃑xhex⃑+y-x2p⃑yhey⃑+z-x2p⃑zhez⃑x-x2p⃑xh2+y-x2p⃑yh2+z-x2p⃑zh232

E⃑2=Q4πε0ε0-εε0+ε x-x2p⃑xhex⃑+y-x2p⃑yhey⃑+z+x2p⃑zhez⃑x-x2p⃑xh2+y-x2p⃑yh2+z+x2p⃑zh232

E⃑3=-Q4πε0r1x2x-x1p⃑xhex⃑+y-x1p⃑yhey⃑+z-x1p⃑zhez⃑x-x1p⃑xh2+y-x1p⃑yh2+z-x1p⃑zh232

E⃑4=-Q4πε0r1x2ε0-εε0+ε x-x1p⃑xhex⃑+y-x1p⃑yhey⃑+z+x1p⃑zhez⃑x-x1p⃑xh2+y-x1p⃑yh2+z+x1p⃑zh232

E⃑5=Q4πε0r1x2+r1x2ε0-εε0+ε xex⃑+yey⃑+zez⃑x2+y2+z232

E⃑x,y,z=Q4πε0x-x2p⃑xhex⃑+y-x2p⃑yhey⃑+z-x2p⃑zhez⃑x-x2p⃑xh2+y-x2p⃑yh2+z-x2p⃑zh232+ε0-εε0+ε x-x2p⃑xhex⃑+y-x2p⃑yhey⃑+z+x2p⃑zhez⃑x-x2p⃑xh2+y-x2p⃑yh2+z+x2p⃑zh232-r1x2x-x1p⃑xhex⃑+y-x1p⃑yhey⃑+z-x1p⃑zhez⃑x-x1p⃑xh2+y-x1p⃑yh2+z-x1p⃑zh232-r1x2ε0-εε0+ε x-x1p⃑xhex⃑+y-x1p⃑yhey⃑+z+x1p⃑zhez⃑x-x1p⃑xh2+y-x1p⃑yh2+z+x1p⃑zh232+r1x2+r1x2ε0-εε0+ε xex⃑+yey⃑+zez⃑x2+y2+z232

Wobei laut obiger Herleitung gilt:

x1=r12-r22+p⃑22p⃑-r12-r22+p⃑224p⃑2-r12

Und

x2=r12x1

Im Dielektrikum gilt hingegen

Q4=2εε+ε0Q bei x=x2p⃑xh , y=x2p⃑yh , z=x2p⃑zh

Q4'=-r1x22εε+ε0Q bei x=x1p⃑xh , y=x1p⃑yh , z=x1p⃑zh

Q5=r1x22εε+ε0Q bei x=0 , y=0 , z=0

E⃑x,y,z=Q4πε02εε+ε0x-x2p⃑xhex⃑+y-x2p⃑yhey⃑+z-x2p⃑zhez⃑x-x2p⃑xh2+y-x2p⃑yh2+z-x2p⃑zh232-r1x22εε+ε0x-x1p⃑xhex⃑+y-x1p⃑yhey⃑+z-x1p⃑zhez⃑x-x1p⃑xh2+y-x1p⃑yh2+z-x1p⃑zh232+r1x22εε+ε0 xex⃑+yey⃑+zez⃑x2+y2+z232

Es ist unschwer zu erkennen das unter Berücksichtigung influenzierter Ladungsverschiebungen die Therme schon bei vergleichsweise einfachen geometrischen Gegebenheiten sehr unhandlich werden

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